Au cours de cette rotation, le soleil va rencontrer à chaque heure un demi-plan passant par l’axe terrestre ; si on associe ces demi-plans pour les heures entières, on aura 24 demi-plans régulièrement espacés de 15 en 15 degrés. L’ensemble de ces demi-plans forme la " rose horaire ". La figure 1 représente cette rose horaire limitée aux 12 demi-plans espacés de 2 heures. L’ombre du style OM pour une heure donnée sera à l’intersection du plan de la table et du demi-plan de la rose horaire dans lequel se trouve le soleil. Les lignes horaires de la tables seront donc à l’intersection de cette table avec la rose horaire. On peut envisager plusieurs cas simples :

1. Table perpendiculaire à l’axe terrestre.

Elle est donc perpendiculaire au style OM, parallèle au plan équatorial terrestre (Pe), (fig.1). Les graduations pour les heures entières seront alors équidistantes de 15° ; à l’heure h, comptée de 0 h à 24 h à partir de minuit ((fig.3),

q = ( 12-h) 15 degrés

 

Le cadran sera éclairé par dessus, de l’équinoxe de printemps à l’équinoxe d’automne et par dessous le reste de l’année. L’extrémité Q de l’ombre du style décrit chaque jour une circonférence dont le rayon peut servir de calendrier, mais ce rayon devient infini aux équinoxes.

2. Table horizontale.

L’angle du style et de la table est égal à la latitude L du lieu d’observation (fig.2). Soit Ph le plan de la table. Les graduations dans Ph ne sont plus équidistantes pour les heures entières, mais leur projection normale sur Pe redonnerait la graduation régulière du cas précédent (fig.1). A l’heure h, l’ombre fera avec le plan méridien un angle q ’ (fig.4) tel que

 

tg q ’ = tg q ’ cos ( - L )

 

tg q = tg [ (12 – h) 15 ] sin L

 

3. Table verticale.

Le calcul est simple et la graduation symétrique par rapport au méridien si le plan de la table (Pv, fig.2) est perpendiculaire au méridien (cadran " méridional " ou " septentrional ") ; le calcul est alors le même que précédemment ; le style fait un angle (- L ) avec la table ; q ’’ remplace q ’ (fig.4) avec :

En fait, la terre ne tourne pas seulement sur elle-même ; elle décrit une ellipse autour du soleil ; le mouvement s’effectue suivant la " loi des aires " ; les jours solaires ne sont donc pas tous égaux. Par contre, les jours légaux sont égaux (temps moyen) ; l’écart E entre le temps solaire vrai (Ts) et le temps moyen est fourni par l’ " équation du temps " dont nous donnons la courbe de variation (fig.5). D’autre part, l’heure de repère est celle du méridien de Greenwich, de longitude zéro ; il faut donc faire une correction dépendant de la longitude L du lieu d’observation. Enfin, en France, l’heure légale Tl peut être décalée de t=1 h ou 2 h par rapport à l’heure solaire corrigée ; pour un autre pays il faudrait éventuellement tenir compte aussi du fuseau horaire.

E valeur de l’équation du temps (d’après la figure 5 ou une table de correction)

le temps civil d’un lieu est égal au temps solaire moyen + 12 h soit (Ts + E + 12),

Nous n’avons parlé que de la direction de l’ombre du style qui permet de connaître l’heure. En fait, le plan de l’orbite de la terre autour du soleil (écliptique) fait un angle e = 23°27’ avec le plan perpendiculaire à l’axe de rotation de la terre (plan équatorial) (fig.6) ; la hauteur du soleil dans le plan méridien peut donc varier de ± e par rapport au plan équatorial.

Aux équinoxes de printemps et d’automne, le soleil se trouve dans le plan équatorial (a = 0) ((fig.7). Au solstice d’été (a = e ) sa hauteur à midi dans le plan méridien est au maximum ; au solstice d’hiver (a = -e ), cette hauteur est minimum. La longueur de l’ombre pour un style donné varie donc au cours de l’année. La figure 7 représente cette longueur à midi vrai ; elle varie de à  ; on peut en déduire la date de l’observation avec une certaine ambiguïté puisqu’on retrouve la même longueur deux fois par an.

La droite joignant l’extrémité M du style au soleil décrit évidemment un cône engendré par la rotation de MQ autour de OM (fig.7) ;l’angle au sommet de ce cône varie au cours de l’année ; il vaudra ( - e ) aux solstices ; aux équinoxes (plan équatorial). L’intersection avec la table horizontale est donc une conique lieu de l’ombre Q de M ; cette conique est généralement une hyperbole (sous nos latitudes). Elle varie chaque jour ; elle se situe entre deux limites correspondant aux solstices ; elle se réduit à une droite aux équinoxes puisque le soleil est dans le plan équatorial. Ces hyperboles peuvent indiquer la date d’observation en même temps que l’heure (fig.8). Sur de nombreux cadrans, on trouve les coniques correspondant aux signes du zodiaque (" arcs des signes ") qui se recouvrent deux à deux (a = ± 11°29’ et a = ± 20°20’), ce qui fait 7 courbes avec celles des solstices (a = ± e ) et celle des équinoxes (a = 0 ).

On trouve sur certains cadrans solaires une courbe analogue à celle de la figure 9 qui combine l’équation du temps et l’effet de variation de hauteur du soleil au cours de l’année ; cette courbe est appelée " analemme " ou " méridienne ". Celle de la figure est tracée pour midi ; l’ombre Q du point M est sur cette courbe à midi moyen ; elle est sur l’intersection NS de la table et du méridien à midi vrai. On peut tracer les méridiens correspondant à d’autres heures de la journée.